曲线积分

第一类曲线积分

考虑这样一个问题，在一个密度场 ρ=f(x,y)\rho = f(x, y) 中有一根绳子，绳子的形状不规则，但是可以用函数如 L(x,y)=0L(x, y) = 0 表示，现在要求这根绳子的质量，应该如何思考

考虑高中物理中常用的微元法，将绳子划分为无数的小段，每一段的长度为 ds\mathrm{d}s，那么该点处的质量为 f(x,y)dsf(x, y)\mathrm{d}s，故而绳子的总质量为

∑f(x,y)ds\sum f(x, y)\mathrm{d}s

要想让每一段的绳长尽可能地接近 0，我们可以取所有段中最长的那段的长度为 λ\lambda，然后取极限，得到

lim⁡λ→0∑f(x,y)ds\lim_{\lambda\to 0}\sum f(x, y)\mathrm{d}s

这就是第一类曲线积分的“原本面貌”，我们引入一个符号记这个表达式，即

∫Lf(x,y)ds=lim⁡λ→0∑f(x,y)ds\int_{L}f(x, y)\mathrm{d}s = \lim_{\lambda\to 0}\sum f(x, y)\mathrm{d}s

第二类曲线积分

在第一类曲线积分中，被积函数和 ds\mathrm{d}s 都是标量，如果将标量场换成向量场 A⃗(x,y)\vec{A}(x, y)，ds\mathrm{d}s 也换成 dr⃗\mathrm{d}\vec{r}，就得到第二类曲线积分

∫LA⃗(x,y)⋅dr⃗=lim⁡∑A⃗(x,y)⋅dr⃗\int_{L}\vec{A}(x, y)\cdot\mathrm{d}\vec{r} = \lim\sum \vec{A}(x, y)\cdot\mathrm{d}\vec{r}

若将点积形式展开（记 A⃗(x,y)=(P,Q)\vec{A}(x, y) = (P, Q)），那么就能得到

∫LA⃗(x,y)⋅dr⃗=∫LP(x,y)dx+∫LQ(x,y)dy\int_{L}\vec{A}(x, y)\cdot\mathrm{d}\vec{r} = \int_{L}P(x, y)\mathrm{d}x + \int_{L}Q(x, y)\mathrm{d}y

为了书写方便，上式还可以忽略一个积分符号写成

∫LA⃗(x,y)⋅dr⃗=∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy\int_{L}\vec{A}(x, y)\cdot\mathrm{d}\vec{r} = \int_{L}P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y

显然，这里的 dx\mathrm{d}x 和 dy\mathrm{d}y 其实是 ds\mathrm{d}s 在坐标轴上的分量

并且由于积分变量 dr⃗\mathrm{d}\vec{r} 是矢量，因此第二类曲线积分需要考虑方向，也就是说

∫ABA⃗(x,y)⋅dr⃗=−∫BAA⃗(x,y)⋅dr⃗\int_{\textcolor{red}{AB}}\vec{A}(x, y)\cdot\mathrm{d}\vec{r} = -\int_{\textcolor{red}{BA}}\vec{A}(x, y)\cdot\mathrm{d}\vec{r}

将曲线积分转化为定积分

先看第一类曲线积分，由于积分变量是 ds\mathrm{d}s，我们无法直接计算，因此我们可以先考虑转化积分变量，弧微元的表达式为

ds=(dx)2+(dy)2\mathrm{d}s = \sqrt{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2}

进一步化简得到

ds=1+(dydx)2dx=1+y′2dx\mathrm{d}s = \sqrt{1 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2}\mathrm{d}x = \sqrt{1 + y'^2}\mathrm{d}x

这样一来就能够将积分变量转化为 xx，然后将被积函数中所有的 yy 通过曲线的函数表达式换成 xx，就可以转化为定积分计算了

此外，还可以引入参数方程

{x=φ(t)y=ψ(t)\begin{cases} x = \varphi(t)\\ y = \psi(t) \end{cases}

那么 ds=φ′2(t)+ψ′2(t)dt\mathrm{d}s = \sqrt{\varphi'^2(t) + \psi'^2(t)}\mathrm{d}t

积分也就可以化为

∫t1t2f(φ(t),ψ(t))φ′2(t)+ψ′2(t)dt\int_{t_1}^{t_2}f(\varphi(t), \psi(t))\sqrt{\varphi'^2(t) + \psi'^2(t)}\mathrm{d}t

其中，t1t_1 和 t2t_2 是曲线的起点参量和终点参量

接下来看第二类曲线积分，由于积分变量本身就是 dx\mathrm{d}x 或 dy\mathrm{d}y，因此只需要将被积函数中的变量替换为积分变量即可，或者仍然使用参数方程，如

∫Lf(x,y)dx=∫t1t2f(φ(t),ψ(t))φ′(t)dt\int_{L}f(x, y)\mathrm{d}x = \int_{t_1}^{t_2}f(\varphi(t), \psi(t))\varphi'(t)\mathrm{d}t

第一类曲线积分和第二类曲线积分的关系

第二类曲线积分相较于第一类曲线积分就是向量和标量的区别，实际上

∫LA⃗⋅dr⃗=∫LA⃗⋅τ⃗ds\int_{L}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{r} = \int_{L}\vec{A}\cdot\vec{\tau}\mathrm{d}s

其中 τ⃗\vec{\tau} 是曲线在某点处的单位切向量，可以写成 (cos⁡α,cos⁡β)(\cos\alpha, \cos\beta) （若在空间中则是 (cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)，其中 α,β\alpha,\beta 分别是切向量与两坐标轴的夹角，因此

∫LA⃗⋅dr⃗=∫L(Pcos⁡α+Qcos⁡β)ds\int_{L}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{r} = \int_{L}(P\cos\alpha + Q\cos\beta)\mathrm{d}s

仍然考虑参数方程，通过切向量求法，即（可以参考 从梯度看多元微分学）

T⃗=(φ′(t),ψ′(t))\vec{T} = (\varphi'(t), \psi'(t))

可以得到

τ⃗=(φ′(t)φ′(t)+ψ′2(t),ψ′2(t)φ′2(t)+ψ′2(t))\vec{\tau} = \left(\frac{\varphi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t) + \psi'^2(t)}}, \frac{\psi'^2(t)}{\sqrt{\varphi'^2(t) + \psi'^2(t)}}\right)

即

cos⁡α=φ′(t)φ′2(t)+ψ′2(t)cos⁡β=ψ′(t)φ′2(t)+ψ′2(t)\cos\alpha = \frac{\varphi'(t)}{\sqrt{\varphi'^2(t) + \psi'^2(t)}}\\ \cos\beta = \frac{\psi'(t)}{\sqrt{\varphi'^2(t) + \psi'^2(t)}}

平面曲线积分与路径无关的条件

我们观察

∫LPdx+Qdy\int_{L}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y

不难发现这里的 Pdx+QdyP\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y 与全微分及其相似

如果 z=f(x,y)z = f(x, y)，且 P=∂f∂xP = \frac{\partial f}{\partial x}，Q=∂f∂yQ = \frac{\partial f}{\partial y}，那么

dz=Pdx+Qdy\mathrm{d}z = P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y

需要注意的是，不是所有的 Pdx+QdyP\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y 都是恰当微分，即不一定所有的 Pdx+QdyP\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y 都能收成 dz\mathrm{d}z 的形式

从而有

∫LPdx+Qdy=∫z1z2dz\int_{L}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = \int_{z_1}^{z_2}\mathrm{d}z

这时我们发现这个曲线积分的结果只与初末位置的 zz 坐标有关，即曲线积分与路径无关

接下来考虑恰当微分的充要条件

假定 Pdx+QdyP\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y 是恰当微分，那么

∂P∂y=∂2f∂x∂y=∂Q∂x\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}

即 ∂P∂y=∂Q∂x\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} 是恰当微分的一个必要条件

接下来证明充分性

若 ∂P∂y=∂Q∂x\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}，那么假设 P(x,y)=∂f∂xP(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}，则

f(x,y)=∫x0xP(x,y)dx+ϕ(y)f(x, y) = \int_{x_0}^{x}P(x, y)\mathrm{d}x + \phi(y)

则

∂f∂y=∂∂y[∫x0xP(x,y)dx+ϕ(y)]=∫x0x∂P∂ydx+ϕ′(y)=∫x0x∂Q∂xdx+ϕ′(y)=Q(x,y)−Q(x0,y)+ϕ′(y)\begin{align} \frac{\partial f}{\partial y} & = \frac{\partial }{\partial y}\left[\int_{x_0}^{x}P(x, y)\mathrm{d}x + \phi(y)\right]\\ & = \int_{x_0}^{x} \frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}x + \phi'(y)\\ & = \int_{x_0}^{x} \frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}x + \phi'(y)\\ & = Q(x, y) - Q(x_0, y) + \phi'(y) \end{align}

令 Q(x,y)=Q(x,y)−Q(x0,y)+ϕ′(y)Q(x, y) = Q(x, y) - Q(x_0, y) + \phi'(y)，则 ϕ′(y)=Q(x0,y)\phi'(y) = Q(x_0, y)，从而

ϕ(y)=∫y0yQ(x0,y)dy+C\phi(y) = \int_{y_0}^{y}Q(x_0, y)\mathrm{d}y + C

因此存在

f(x,y)=∫x0xP(x,y)dx+∫y0yQ(x0,y)dy+Cf(x,y) = \int_{x_0}^x P(x,y)\mathrm{d}x + \int_{y_0}^y Q(x_0, y)\mathrm{d}y + C

因此充分性成立，故

∂P∂y=∂Q∂x\textcolor{red}{\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}}

是曲线积分与路径无关的充要条件

需要强调的是，上面的结论只适用于单连通区域

实际上，函数 f(x,y)f(x, y) 还可以这样理解

∫(x0,y0)(x,y)dz=f(x,y)=∫(x0,y0)(x,y0)P(x,y)dx+∫(x,y0)(x,y)Q(x0,y)dy+C\int_{(x_0, y_0)}^{(x, y)}\mathrm{d}z = f(x,y) = \int_{(x_0, y_0)}^{(x, y_0)} P(x,y)\mathrm{d}x + \int_{(x, y_0)}^{(x, y)} Q(x_0, y)\mathrm{d}y + C

这可以理解为从 (x0,y0)(x_0, y_0) 到 (x,y)(x, y) 的曲线积分还可以写成先从 (x0,y0)(x_0, y_0) 到 (x,y0)(x, y_0) 再到 (x,y)(x, y) 的折线上的曲线积分（与路径无关）

格林公式

格林公式

单连通区域：若 DD 内任一闭曲线所围的部分都属于 DD，则称 DD 为平面单连通区域
复连通区域：若存在 DD 内某一闭曲线所围的部分不属于 DD，则称 DD 为复连通区域通俗地说，单连通区域就是没有“洞”的区域，而复联通区域是有“洞”的区域（包括点洞）

平面区域的方向：对于平面区域 DD，我们规定 LL 的正向如下：当观察者沿着 LL 的这个方向行走时，DD 在他近处的那一部分总在他的左边

格林公式：设闭区域 DD 由分段光滑的曲线 LL 围成，若函数 P(x,y)P(x, y) 及 Q(x,y)Q(x, y) 在 DD 上具有一阶连续偏导数，则有

∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∮LPdx+Qdy\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \oint_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y

其中 LL 是 DD 取正向的曲线边界

接下来先对下面这种简单情况进行证明，设 D={(x,y)∣φ1(x)≤y≤φ2(x),a≤x≤b}D = \{(x, y) \mid \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x), a \leq x \leq b\}

先计算二重积分

∬D∂P∂ydxdy=∫ab[∫φ1(x)φ2(x)∂P∂ydy]dx=∫ab[P(x,φ2(x))−P(x,φ1(x))]dx\iint_{D}\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{a}^{b}\left[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x = \int_{a}^{b} [P(x, \varphi_2(x)) - P(x, \varphi_1(x))] \mathrm{d}x

然后计算曲线积分

∮LPdx=∫PQPdx+∫QRPdx+∫RSPdx+∫SPPdx=∫PQPdx+∫RSPdx=∫ab[P(x,φ1(x))−P(x,φ2(x))]dx\begin{align} \oint_L P\mathrm{d}x & = \int_{PQ} P \mathrm{d}x + \int_{QR} P \mathrm{d}x + \int_{RS} P \mathrm{d}x + \int_{SP} P \mathrm{d}x\\ & = \int_{PQ} P \mathrm{d}x + \int_{RS} P \mathrm{d}x\\ & = \int_{a}^{b} [P(x, \varphi_1(x)) - P(x, \varphi_2(x))]\mathrm{d}x \end{align}

因此

∬D∂P∂ydxdy=−∮LPdx\iint_{D}\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y = -\oint_L P\mathrm{d}x

同理可得

∬D∂Q∂xdxdy=∮LQdy\iint_{D}\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \oint_L Q\mathrm{d}y

因此

∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∮LPdx+Qdy\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \oint_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y

如此，若平面区域 DD 不满足上面的形状，可以将其划分为若干形如 DD 的形状，然后对每一部分使用上面的公式即可，最后加起来，可以得到格林公式在一般情况下仍然成立

平面曲线积分与路径无关条件的另一证明

前面证明了平面曲线积分与路径无关的充要条件是

∂P∂y=∂Q∂x\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}

这个条件的必要性是显然的，接下来我们再用格林公式证明其充分性

首先我们从另一个角度理解路径无关，对于给定两点 AA 和 BB，以及两条从 AA 到 BB 的路径 L1L_1 和 L2L_2，那么当

∫L1Pdx+Qdy=∫L2Pdx+Qdy\int_{L_1}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = \int_{L_2}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y

时，显然曲线积分与路径无关，那么，此时有

∮L1+L2−Pdx+Qdy=∫L1Pdx+Qdy+∫L2−Pdx+Qdy=0\oint_{L_1 + L_2^-}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = \int_{L_1}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y + \int_{L_2^-}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = 0

及若经过 AA BB 两点的环路的曲线积分为 0，那么曲线积分与路径无关

又因为 ∂P∂y=∂Q∂x\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}，所以 ∫LPdx+Qdy=0\int_{L}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = 0

因此结论就显然了

利用曲线积分求图形面积

由格林公式

∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∮LPdx+Qdy\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \oint_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y

令 P=−yP = -y，Q=xQ = x，那么有

∬Ddσ=12∮Lxdy−ydx\iint_{D}\mathrm{d}\sigma = \frac{1}{2}\oint_{L}x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x

上式左部分就是 DD 区域的面积（LL 所围图形的面积），因此得到 LL 所围图形的面积公式

A=12∮Lxdy−ydxA = \frac{1}{2}\oint_{L}x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x

用格林公式简化曲线积分的计算

如果路径本身是环路，很容易想到格林公式，然而，当路径不是环路时，有时将其转化为环路上的曲线积分再计算能够起到简化作用。如下例题

Problem 1 计算曲线积分

∫L(exsin⁡y−my)dx+(excos⁡y−m)dy\int_{L}(e^x\sin y - my)\mathrm{d}x + (e^x\cos y - m)\mathrm{d}y

其中 LL 是圆 (x−a)2+y2=a2 (a>0)(x - a)^2 + y^2 = a^2\, (a > 0) 的上半圆周部分，方向从 A(2a,0)A(2a, 0) 到原点 O(0,0)O(0, 0)

补充线段 OAOA，则有闭区域 L+OAL + OA，计算这个区域的曲线积分得

∮L+OA(exsin⁡y−my)dx+(excos⁡y−m)dy=m∬Ddσ=mπa22\oint_{L + OA}(e^x\sin y - my)\mathrm{d}x + (e^x\cos y - m)\mathrm{d}y = m\iint_{D}\mathrm{d}\sigma = \frac{m\pi a^2}{2}

再计算 OAOA 的曲线积分为

∫OA(exsin⁡y−my)dx+(excos⁡y−m)dy=∫OA(exsin⁡y−my)dx=0\int_{OA}(e^x\sin y - my)\mathrm{d}x + (e^x\cos y - m)\mathrm{d}y = \int_{OA}(e^x\sin y - my)\mathrm{d}x = 0

因此

∫L=∮L+OA−∫OA=mπa22\int_{L} = \oint_{L + OA} - \int_{OA} = \frac{m\pi a^2}{2}

闭曲线内含有奇点的曲线积分的计算

奇点：区域内使得 ∂P∂y\frac{\partial P}{\partial y} 或 ∂Q∂x\frac{\partial Q}{\partial x} 不连续的点称为奇点

Problem 2 计算

∮Lxdy−ydxx2+y2\oint_{L}\frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{x^2 + y^2}

其中 LL 是一条不自相交、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，LL 的方向为逆时针方向

设 P=xx2+y2P = \frac{x}{x^2 + y^2}，Q=−yx2+y2Q = \frac{-y}{x^2 + y^2}，则

∂Q∂x=y2−x2(x2+y2)2=∂P∂y\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{\partial P}{\partial y}

需要明确的是这个积分无法直接通过格林公式计算，因为偏导数在原点处是不连续的，况且 LL 的方程也没给出。因此可以先进行简单的分类讨论

记 LL 所围成的闭区域为 DD

当 (0,0)∉D(0, 0) \notin D 时，由格林公式，显然有 ∮Lxdy−ydxx2+y2=0\oint_{L}\frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{x^2 + y^2} = 0

当 (0,0)∈D(0, 0) \in D 时，选取较小的 rr，做区域 DD 内的圆周 ll，如图

取圆周 ll 的方向为逆时时针，那么图中阴影部分就是一个复连通区域，且可以使用格林公式

∮Lxdy−ydxx2+y2−∮lxdy−ydxx2+y2=0\oint_{L}\frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{x^2 + y^2} - \oint_{l}\frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{x^2 + y^2} = 0

因此

∮Lxdy−ydxx2+y2=∮lxdy−ydxx2+y2=2π\oint_{L}\frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{x^2 + y^2} = \oint_{l}\frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{x^2 + y^2} = 2\pi

注：这里省略了曲线积分的计算过程，需要读者自己补充

曲面积分

第一类曲面积分

和第一类曲线积分类似，第一类曲面积分求的是空间密度场中曲面的质量

具体来说，假设空间中存在一密度场 μ=f(x,y,z)\mu = f(x, y, z) 和一曲面 Σ\Sigma，那么我们可以假设曲面上的面积微元 dS\mathrm{d}S，那么这个微元的质量为

f(x,y,z)dSf(x, y, z)\mathrm{d}S

累加并求极限即得曲面积分的定义

∬Σf(x,y,z)dS=lim⁡∑f(x,y,z)dS\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d}S = \lim\sum f(x, y, z)\mathrm{d}S

第二类曲面积分

同样的，将第一类曲面积分中的标量换成向量即可得到第二类曲面积分

但是在此之前，我们需要先了解面积向量的概念

面积向量的 A⃗\vec{A} 的定义如下

A⃗=A⋅n⃗\vec{A} = A\cdot \vec{n}

其中，AA 是面积的大小，n⃗\vec{n} 是该平面的单位法向量

如此，便可开始进行替换，将原来的标量场替换成向量场（如速度场），将原来的面积替换为面积向量，因此可以得到第二类曲面积分

∬ΣA⃗⋅dS⃗\iint_{\Sigma}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{S}

同样的，第二类曲面积分也要考虑方向，而方向的基准由 Σ\Sigma 决定，即需要指定曲面 Σ\Sigma 的侧

  • 对于封闭曲面来说，它可以有外侧和内测

  • 对于非封闭的曲面来说，它可以有上/下侧、左/右侧、前/后侧

取不同侧的结果是不一样的，如

∬ΣA⃗⋅dS⃗=−∬Σ−A⃗⋅dS⃗\iint_{\Sigma}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = -\iint_{\Sigma^-}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{S}

第一类曲面积分和第二类曲面积分的关系

如果 A⃗=(P,Q,R)\vec{A} = (P, Q, R)，且法向量与三个坐标轴的夹角分别为 α,β γ\alpha, \beta\, \gamma，那么就可以得到

∬ΣA⃗⋅dS⃗=∬ΣPcos⁡α+Qcos⁡β+Rcos⁡γdS\iint_{\Sigma}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \iint_{\Sigma}P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma \mathrm{d} S

这其实就是一个第一类曲面积分了

更进一步地，我们在高中就学过投影面积的概念，从而可以得到 dS\mathrm{d}S 在 xOyxOy 平面上的投影 dxdy=dScos⁡γ\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \mathrm{d}S\cos\gamma，其余同理，从而我们可以得到

∬ΣA⃗⋅dS⃗=∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy\iint_{\Sigma}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \iint_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y

假设曲面可以写成 z=f(x,y)z = f(x, y)，那么可以得到曲面的一个法向量为 (fx,fy,−1)(f_x, f_y, -1)，这个向量与 zz 轴的夹角为钝角，我们考虑与 zz 轴夹角为钝角的情况即 (−fx,−fy,1)(-f_x, -f_y, 1)，求其单位法向量得

(−fx1+fx2+fy2,−fy1+fx2+fy2,11+fx2+fy2)\left(\frac{-f_x}{\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}}, \frac{-f_y}{\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}}, \frac{1}{\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}}\right)

也即有

{cos⁡α=−fx1+fx2+fy2cos⁡β=−fy1+fx2+fy2cos⁡γ=11+fx2+fy2\begin{cases} \cos\alpha = \frac{-f_x}{\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}}\\ \cos\beta = \frac{-f_y}{\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}}\\ \cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}} \end{cases}

此外，变换面积元的方法也经常用到

dS=dydzcos⁡α=dzdxcos⁡β=dxdycos⁡γ\mathrm{d}S = \frac{\mathrm{d}y\mathrm{d}z}{\cos\alpha} = \frac{\mathrm{d}z\mathrm{d}x}{\cos\beta} = \frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\cos\gamma}

通过上面的连等式，可以得到形如

dydz=cos⁡αcos⁡γdxdy=−fxdxdy\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \frac{\cos\alpha}{\cos\gamma}\mathrm{d}x\mathrm{d}y = -f_x\mathrm{d}x\mathrm{d}y

的一系列变换，有时能够简化计算

曲面积分的计算方法

首先看第一类曲面积分，设曲面的方程为 z=z(x,y)z = z(x, y)，他在平面 xOyxOy 上的投影为 DxyD_{xy}，我们前面推导了

dS=dxdycos⁡γ\mathrm{d}S = \frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\cos\gamma}

这里由于 dS\mathrm{d}S 不考虑方向，恒为正数，因此

dS=dxdy∣cos⁡γ∣=1+zx2+zy2dxdy\mathrm{d}S = \frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{|\cos\gamma|} = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y

因此

∬Σf(x,y,z)dS=lim⁡∑f(x,y,z)1+zx2+zy2dxdy\iint_{\Sigma}f(x, y, z)\mathrm{d}S = \lim\sum f(x, y, z)\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y

然后将 z=z(x,y)z = z(x, y) 带入，就能得到

∬Σf(x,y,z)dS=lim⁡∑f(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dxdy=∬Dxyf(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dxdy\begin{align} \iint_{\Sigma}f(x, y, z)\mathrm{d}S & = \lim\sum f(x, y, z(x, y))\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ & = \iint_{D_{xy}}f(x, y, z(x, y))\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{align}

由第一类曲面积分和第二类曲面积分的关系可得

∬Σf(x,y,z)dxdy=∬Σf(x,y,z)cos⁡γdS=cos⁡γ∣cos⁡γ∣∬Dxyf(x,y,z(x,y))dxdy\begin{align} \iint_{\Sigma}f(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y & = \iint_{\Sigma}f(x, y, z)\cos\gamma \mathrm{d}S\\ & = \frac{\cos\gamma}{|\cos\gamma|}\iint_{D_{xy}}f(x, y, z(x, y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{align}

显然，最终的符号取决于 cos⁡γ\cos\gamma，即 Σ\Sigma 取上侧（+）还是下侧（-）

这里均仅对将曲面投影到 xOyxOy 平面做了讨论，实际上还可以投影到 yOzyOz 和 zOxzOx 平面，请读者自行讨论

高斯公式和斯托克斯公式

高斯公式

高斯公式：设空间闭区域 Ω\Omega 是由分片光滑的闭曲面 Σ\Sigma 围成，若函数 P(x,y,z)P(x, y, z)、Q(x,y,z)Q(x, y, z)、Q(x,y,z)Q(x, y, z) 在 Ω\Omega 上具有一阶连续偏导数，则有

∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dV=∯ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}V = \oiint_{\Sigma} P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y

或

∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dV=∯Σ(Pcos⁡α+Qcos⁡β+Rcos⁡γ)dS\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}V = \oiint_{\Sigma} (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma) \mathrm{d}S

这里的 Σ\Sigma 是 Ω\Omega 整个边界曲面的外侧

与格林公式类似，使用高斯公式也可以计算空间几何体的体积，令 {P=xQ=yR=z\begin{cases}P = x\\ Q = y\\ R = z\end{cases}，则可得

V=∭ΩdV=13∯Σxdydz+ydzdx+zdxdyV = \iiint_{\Omega}\mathrm{d}V = \frac{1}{3}\oiint_{\Sigma} x\mathrm{d}y\mathrm{d}z + y\mathrm{d}z\mathrm{d}x + z\mathrm{d}x\mathrm{d}y

散度

散度：定义向量场 A⃗=(P,Q,R)\vec{A} = (P, Q, R) 的散度为

divA⃗=∇⋅A⃗=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z\mathrm{div} \vec{A} = \nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}

我们也可以通过高斯公式来定义散度，通过积分中值定理可以得到

∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z=lim⁡V→01V∯ΩA⃗d⋅S⃗\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = \lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\oiint_{\Omega}\vec{A}\mathrm{d} \cdot \vec{S}

上式中，的左边表示 A⃗\vec{A} 的散度，而右边表示某点处（向外）的通量

  • 当 divA⃗>0\mathrm{div} \vec{A} > 0 时，可以看成流体从该点处向外发散

  • 当 divA⃗<0\mathrm{div} \vec{A} < 0 时，可以看成流体向该店处汇聚

  • 当 divA⃗>0\mathrm{div} \vec{A} > 0 时，表示流体在该点处无源

因此，散度可以看成是某点的处流体的净流出量

斯托克斯公式

斯托克斯公式：设 SS 是以曲线 LL 为边界的分片光滑的具有二阶连续偏导数的定向曲面。向量场函数 A⃗=(P,Q,R)\vec{A} = (P, Q, R) 定义在某个含 SS 的空间区域上，且有一阶连续偏导数，则

∮LPdx+Qdy+Rdz=∬S(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\oint_{L}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y + R\mathrm{d}z = \iint_{S}\left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}z + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm{d}z\mathrm{d}x + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y

也可以写成矩阵的形式为

∮LA⃗⋅dr⃗=∣dydzdzdxdxdy∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣\oint_{L} \vec{A} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}

旋度

旋度：定义向量场 A⃗=(P,Q,R)\vec{A} = (P, Q, R) 的旋度为

rotA⃗=(∂R∂y−∂Q∂z)i⃗+(∂P∂z−∂R∂x)j⃗+(∂Q∂x−∂P∂y)k⃗\mathrm{rot}\vec{A} = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i} + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k}

右边的式子也可以用矩阵表示，即

rotA⃗=∇×A⃗=∣i⃗j⃗k⃗∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣\mathrm{rot} \vec{A} = \nabla \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}

我们也可以通过斯托克斯公式来定义旋度。通过积分中值定理可以得到，向量场 A⃗\vec{A} 在某一点处沿着某个特定方向（法向量为 n⃗\vec{n}）的旋度分量满足

rotA⃗⋅n⃗=lim⁡ΔS→01ΔS∮ΓA⃗⋅dr⃗\mathrm{rot}\vec{A} \cdot \vec{n} = \lim_{\Delta S \to 0} \frac{1}{\Delta S} \oint_{\Gamma} \vec{A} \cdot d\vec{r}

上式中，左边表示 A⃗\vec{A} 的旋度在 n⃗\vec{n} 方向上的投影（环量面密度），而右边表示某点处绕着以 n⃗\vec{n} 为法线的微小环路的（逆时针）环量极限

  • 当 rotA⃗⋅n⃗>0\mathrm{rot}\vec{A} \cdot \vec{n} > 0 时，可以看成流体在围绕该点（依右手定则以 n⃗\vec{n} 为轴）逆时针剧烈旋转

  • 当 rotA⃗⋅n⃗<0\mathrm{rot}\vec{A} \cdot \vec{n} < 0 时，可以看成流体在围绕该点顺时针旋转

  • 当 rotA⃗⋅n⃗=0\mathrm{rot}\vec{A} \cdot \vec{n} = 0 时，表示流体在该点处沿该方向无旋转趋势（即小涡轮放进去不会自转）