高等数学中的一些有趣的证明题

用 $\varepsilon-N$ 定义证明：若 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}a_n=a$，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=a$

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0, 1]$ 连续，且 $I=\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x\neq 0$，证明：在区间 $(0, 1)$ 内，存在不同的两点 $x_1$，$x_2$，使得 $\dfrac{1}{f(x_1)}+\dfrac{1}{f(x_2)}=\dfrac{2}{I}$

令 $F(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)\mathrm{d}t$，则 $F(0)=0$，$F(1)=I$，$F'(x)=f(x)$

由介值定理，存在 $c\in(0, 1)$，使得 $F(c)=\dfrac{I}{2}$

由微积分基本定理可知，$F(x)$ 在闭区间 $[0, 1]$ 连续，在开区间 $(0, 1)$ 可导，则由拉格朗日中值定理可得

存在 $x_1\in(0, c)$，使得 $F'(x_1)=\dfrac{F(c)-F(0)}{c-0}=\dfrac{I}{2c}$

存在 $x_2\in(c, 1)$，使得 $F'(x_2)=\dfrac{F(1)-F(c)}{1-c}=\dfrac{I}{2(1-c)}$

则 $\dfrac{1}{f(x_1)}+\dfrac{1}{f(x_2)}=\dfrac{1}{F'(x_1)}+\dfrac{1}{F'(x_2)}=\dfrac{2}{I}$

函数 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 连续，在 $(0, 1)$ 可导，且 $f(0)=0$，$f(1)=1$，证明：存在 $\xi$ 和 $\eta$，且 $\xi\neq\eta$，使 $\left[1+f'(\xi)\right]\left[1+f'(\eta)\right]=4$

证：令 $F(x)=x+f(x)$，则 $F(0)=0$，$F(1)=2$，$F'(x)=1+f'(x)$

令 $g(x)=f(x)+3x-2$，则 $g(0)=-2$，$g(1)=2$，则 $g(0)g(1)=-4<0$，又显然 $g(x)$ 是一个连续函数，则存在 $c\in(0, 1)$，使得 $g(c)=0$，即 $F(c)=2-2c$

又由拉格朗日中值定理可得

存在 $\xi\in(0, c)$，使得 $F'(\xi)=\dfrac{F(c)-F(0)}{c-0}=\dfrac{2-2c}{c}$

存在 $\eta\in(c, 1)$，使得 $F'(\eta)=\dfrac{F(1)-F(c)}{1-c}=\dfrac{2c}{1-c}$

则 $\left[1+f'(\xi)\right]\left[1+f'(\eta)\right]=F'(\xi)F'(\eta)=4$

函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0, c]$ 连续，在开区间 $(0, c)$ 可导，且 $f(a)\leqslant f(a+b)$，$f''(x)\leqslant 0$，其中 $c\geqslant a+b\geqslant b\geqslant b\geqslant a\geqslant 0$，证明：$\dfrac{af(a)+bf(b)}{a+b}\geqslant f(a+b)$